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８６卷一 古代哲学
大多数的科学从它们的一开始就是和某些错误的信仰形式联系在一起的，这就使它们具有一种虚幻的价值。天文学和占星学联系在一起，化学和炼丹术联系在一起。数学则结合了一种更精致的错误类型。数学的知识看来是可靠的、准确的，而且可以应用于真实的世界。此外，它还是由于纯粹的思维而获得的，并不需要观察。因此之故，人们就以为它提供了日常经验的知识所无能为力的理想。人们根据数学便设想思想是高于感官的，直觉是高于观察的。如果感官世界与数学不符，那么感官世界就更糟糕了。人们便以各种不同的方式寻求更能接近于数学家的理想的方法，而结果所得的种种启示就成了形而上学与知识论中许多错误的根源。这种哲学形式也是从毕达哥拉斯开始的。
正如大家所知道的，毕达哥拉斯说“万物都是数”。这一论断如以近代的方式加以解释的话，在逻辑上是全无意义的，然而毕达哥拉斯所指的却并不是完全没有意义的。他发现了数在音乐中的重要性，数学名词里的“调和中项”与“调和级数”就仍然保存着毕达哥拉斯为音乐和数学之间所建立的那种联系。他把数想象为象是表现在骰子上或者纸牌上的那类形状。我们至今仍然说数的平方与立方，这些名词就是从他那里来的。他还提到长方形数目、三角形数目、金字塔形数目等等。这些都是构成上述各种形状所必需的数目小块块（或者我们更自然一些应该说是些数目的小球球）。他把世界假想为原子的，把物体假想为是原子按各种不同形式排列起来而构成的分子所形成的。他希望以这种方式使算学成为物理学的以及美学的根本研究对象。
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第一篇 前苏格拉底哲学家９６
毕达哥拉斯的最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大的发现，就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方。埃及人已经知道三角形的边长若为３，４，５的话，则必有一个直角。但是显然希腊人是最早观察到３２＋４２＝５２的，并且根据这一提示发现了这个一般命题的证明。
然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数的发现，这似乎否定了他的全部哲学。在一个等边直角三角形里，弦的平方等于每一边平方的二倍。让我们假设每边长一时，那么弦应该有多么长呢？
让我们假设它的长度是ｍｎ时。
B那么ｍ２ｎ２＝２。
如果ｍ和ｎ有一个公约数，我们可以把它消B去，于是ｍ和ｎ必有一个是奇数。现在ｍ２＝２ｎ２，所以ｍ是偶数，所以ｍ也是偶数；因此ｎ就是奇数。假设ｍ＝２ｐ。那末４ｐ２＝２ｎ２，因此ｎ２＝２ｐ２，而因此ｎ便是偶数，与假设相反。
所以就没有ｍｎ的分数可以约尽弦。以上的证明，实质上就B是欧几里德第十编中的证明①。
这种论证就证明了无论我们采取什么样的长度单位，总会有些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系；也就是说，不能有两个整数ｍ、ｎ，从而使问题中的ｍ倍的长度等于ｎ倍的单位。
这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。
柏拉图对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧
①但是这并非欧几里德所发现的，见希斯：《希腊的数学》。以上的证明或许柏拉图是知道的。
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０７卷一 古代哲学
几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如（ａ＋ｂ）
２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２。
正是因为有不可公约数的困难，他才认为这种办法是必要的。
他在第五编、第六编中论比例时，情形也是如此。整个体系在逻辑上是醒目的，并且已经预示着十九世纪数学家们的严谨了。只要关于不可公约数还没有恰当的算学理论存在时，则欧几里德的方法便是几何学中最好的可能方法。当笛卡儿介绍了坐标几何学从而再度确定了算学至高无上的地位时，他曾设想不可公约数的问题有解决的可能性，虽然在他那时候还不曾发现这种解法。
几何学对于哲学与科学方法的影响一直是深远的。希腊人所建立的几何学是从自明的、或者被认为是自明的公理出发，根据演绎的推理前进，而达到那些远不是自明的定理。
公理和定理被认为对于实际空间是真确的，而实际空间又是经验中所有的东西。这样，首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。
“独立宣言”
①说：“我们认为这些真理是自明的”
，其本身便脱胎于欧几里德。十八世纪天赋人权的学说，就是一种在政治方面追求欧几里德式的公理②。牛顿的《原理》一书，尽管它的材料公认是经验的，但是它的形式却完全是被欧几里德所支配着的。严格的经院形式的神学，其体裁也出于同一
①这里指的是美国的“独立宣言”——中译本编者②佛兰克林用“自明的”代替了杰弗逊的“神圣的与不可否认的”。
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第一篇 前苏格拉底哲学家１７
个来源。个人的宗教得自天人感通，神学则得自数学；而这两者都可以在毕达哥拉斯的身上找到。
我相信，数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的；。。。
无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。神秘主义关于时间与永恒的关系的学说，也是被纯粹数学所巩固起来的；因为数学的对象，例如数，如其是真实的话，必然是永恒的而不在时间之内。这种永恒的对象就可以被想象成为上帝的思想。因此，柏拉图的学说是：上帝是一位几何学家；而詹姆士。琴斯爵士也相信上帝嗜好算学。与启示的宗教相对立的理性主义的宗教，自从毕达哥拉斯之后，尤其是从柏拉图之后，一直是完全被数学和数学方法所支配着的。
数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了希腊的、中世纪的以及直迄康德为止的近代的宗教哲学的特征。毕达哥拉斯以前的奥尔弗斯教义类似于亚洲的神秘教。但是在柏拉图、圣奥古斯丁、托马斯。阿奎那、笛卡尔、斯宾诺莎和康德的身上都有着一种宗教与推理的密切交织，一种道德的追求与对于不具时间性的事物之逻辑的崇拜的密切交织；这是从毕达哥拉斯而来的，并使得欧洲的理智化了的神学与亚洲的更为直接了当的神秘主义区别开来。只是到了最近的时
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２７卷一 古代哲学
期，人们才可能明确地说出毕达哥拉斯错在哪里。我不知道还有什么别人对于思想界有过象他那么大的影响。我所以这样说，是因为所谓柏拉图主义的东西倘若加以分析，就可以发现在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。有一个只能显示于理智而不能显示于感官的永恒世界，全部的这一观念都是从毕达哥拉斯那里得来的。如果不是他，基督徒便不会认为基督就是道；如果不是他，神学家就不会追求上帝存在与灵魂不朽的逻辑证明。
但是在他的身上，这一切还都不显著。
下。。
面就要谈到这一切是怎样变得显著的。
第四章 赫拉克利特
目前对待希腊人通常有两种相反的态度。一种是自文艺复兴以来直到最近时期事实上是普遍的态度，即带着几乎是迷信的崇拜来观察希腊人，把他们看成是一切最美好的事物的创造者，具有超人的天才，不是近代人所能期望与之匹敌的。另一种态度是被科学的胜利与对于进步的一种乐观主义的信仰所激发的，即把古人的权威认为是一种重担，并且认为现在最好是把希腊人对于思想的贡献大部分都忘掉。我自己不能采纳任何一种这样极端的看法；我应该说，这两种都是部分正确的而又部分错误的。在谈到任何细节以前，我先要试图说明我们从研究希腊的思想中仍然可以得到什么样的智慧。
关于世界的性质与构造，可能有各种各样的假说。形而
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第一篇 前苏格拉底哲学家３７
上学的进展（就曾经存在过的而言）就在于所有这些假说的逐步精炼化，它们涵意的发展以及对于每种假说的重新改造，以期能对付那些相信敌对假说的人们所发动的反驳。学习着按照每一种体系来理解宇宙乃是想象力的一种愉悦，并且是教条主义的一付解毒剂。此外，纵使没有一种假说可以完全证实，但是如果发现在使每种假说都能自圆其说并且能符合已知事实时所能包含的东西，这里面也就有着一种真正的知识了。一切支配着近代哲学的各种假说，差不多最初都是希腊人想到的；我们对于希腊人在抽象事物方面的想象创造力，几乎是无法称赞过分的。关于希腊人我所要谈的主要地就是从这种观点出发；我认为他们创造了种种具有独立生命与发展的理论，这些理论虽然最初多少是幼稚的，然而两千多年以来终于证明是能够存在的而且能够发展的。
的确，希腊人贡献了另外一些东西，这些东西对于抽象思维证明了更具有永久的价值；他们发现了数学和演绎推理法。尤其是几何学乃是希腊人发明的，没有它，近代科学就会是不可能的。但是希腊天才的片面性，也结合着数学一起表现了出来：它是根据自明的东西而进行演绎的推理，而不是根据已观察到的事物而进行归纳的推理。它运用这种方法所得到的惊人的成就不仅仅把古代世界，而且也把大部分近代世界引入了歧途。根据对于特殊事实的观察以求归纳地达到某些原则的科学方法，代替了希腊人根据哲学家头脑得出的显明公理而进行演绎推理的信念，这原是经历了漫长的过程的。
单就这一理由而论，怀着迷信的崇拜去看待希腊人，便是一种错误。虽然希腊人中也有少数是最早触及到科学方法
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４７卷一 古代哲学
的人，但是，总的说来，科学方法乃是与希腊人的气质格格不入的；而通过贬低最近四个世纪的知识进步以求美化希腊人的企图，则对于近代思想也起了一种束缚作用。
可是，也还有一种更为普遍的论据是反对尊崇前人的，无论是对于希腊人也好、或者对于其他人也好。研究一个哲学家的时候，正确的态度既不是尊崇也不是蔑视，而是应该首先要有一种假设的同情，直到可能知道在他的理论里有些什么东西大概是可以相信的为止；唯有到了这个时候才可以重新采取批判的态度，这